Ферма. Великая теорема Ферма - Страница 11

Математические методы эпохи Ферма были очень похожи на те, которыми пользуется прилежный ученик в школе. Другими словами, человечеству понадобилось около 2500 лет на то, чтобы приобрести знания, доступные сейчас выпускнику школы. И наоборот, с тех пор научные понятия усложнились настолько, что неспециалисты уже не в состоянии их понять.

Математики, которой пользовался Уайлс для доказательства Последней теоремы Ферма, не существовало во времена французского ученого. На самом деле большая ее часть была создана только в XX веке. Поэтому чрезвычайно сложно поверить в то, что у Ферма было доказательство его теоремы, которое не смогли получить самые лучшие мировые математические умы в течение 350 лет.

Наиболее вероятно, что Ферма доказал некоторые частные случаи. В замечании 45 к трактату Диофанта отмечается, что он доказал ее для случая n - 4. То есть не существует таких натуральных чисел х, у и z, что х + у - z.

Возможно, Ферма также доказал случай n = 3. По крайней мере, он ссылался на это в своей переписке как на доказанный результат, точно так же, как и n = 4. Вероятно, на основе этих двух случаев математик решил, что обобщение сделать очень просто.

Ферма ошибался уже не в первый раз. Он также утверждал, что 2² +1 — всегда простое число (делится только на само себя и на единицу), если р — простое. Великий швейцарский математик Леонард Эйлер (1707-1783) доказал, что это не так: при р - 5 утверждение Ферма ложно, поскольку полученное число делится на 641.

Так что Ферма иногда делал неправильные выводы, слишком доверяя интуиции и своим неполным доказательствам. Есть основания думать, что его предполагаемое доказательство Последней теоремы существовало только в его воображении и что отсутствие строгости привело его к очень смелому утверждению на основе пары отдельных случаев... к утверждению, которым, с другой стороны, насколько известно, он не собирался делиться со всеми.

В любом случае, следует отметить, что Великая теорема — это просто любопытное явление, практически мелочь, а не одна из основ математической революции. По сравнению с другими результатами, которые на сегодняшний день так и не доказаны, такими как гипотеза Римана, математическое значение теоремы ослабевает; после ее доказательства не было создано нового и плодородного поля математических исследований. Математики измеряют значимость результата с учетом новой математики, которую этот результат порождает после его доказательства. Дело в том, что Последняя теорема сама по себе ни к чему особенному не ведет.

Однако усилия, потраченные на ее доказательство в течение 350 лет, способствовали развитию важнейших математических теорий. В этом и заключается парадокс данной теоремы: в некотором смысле она представляет собой незначительный результат, замечание, подходящее для поля книги, где она была записана; но огромная сложность доказательства и интерес, который оно вызывало в течение веков, привели к созданию сложных теорий, применение и развитие которых оказались крайне значимыми.

Преподаватели, упомянутые нами ранее, очевидно, говорили своим ученикам: "Хоть бы она никогда не была доказана". Потому что математические методы и теории, которые были порождены попытками доказательства, оказались важнее самой теоремы, и мы надеемся, что благодаря этим попыткам появятся новые теории.

Конечно, вероятна и другая версия истории, согласно которой Ферма, как он это иногда делал, играл со своими современниками, бросая им вызов и провоцируя на поиск доказательства того, в чем сам не был уверен; однако свой результат он не опубликовал, и этот факт выступает против данной гипотезы. Кроме того, как уже было сказано, очень трудно себе представить, что Ферма действительно обладал общим доказательством теоремы. Либо самые блестящие математики последних 350 лет были слепцами, либо необходимого математического аппарата для доказательства во времена Ферма просто не существовало. Второе намного более вероятно.

Нерешенная проблема — как стена. Математики, которые подступаются к ней, должны обладать соответствующим арсеналом, чтобы снести ее. Некоторые задачи просто нельзя разбить с помощью примитивного "оружия". Точно так же, как римская катапульта была бы абсолютно бесполезна против современного авианосца, некоторые математические инструменты не годятся для решения определенных проблем, и ученым приходится ломать себе голову, изобретая новые стратегии атаки и новое вооружение. Современная история математики — это в значительной мере история изобретения более совершенного арсенала.

У Ферма было такое оружие, о котором одно или два предыдущих поколения даже не мечтали; но его было недостаточно, чтобы решить его задачу. С другой стороны, вполне вероятно, что он этого не знал. Возможно, тулузский юрист был ослеплен блеском стали того арсенала, который изобрел его выдающийся предшественник Виет, а также он сам, и не подозревал, что не все стены разрушаются под его ударами. Девизом Виета была фраза: Nullum problema solver ("Нет проблем без решений"). Сегодня оптимизм ученого можно назвать чрезмерным, но тогда никто этого не знал.

Математики используют в своих доказательствах не меньшее количество стратегий, чем полководцы в битве, а возможно, даже и большее. Во времена Ферма число стратегий значительно увеличилось с изобретением символической алгебры; одну из тех, что использовал Ферма, изобрел он сам: метод бесконечного спуска, который происходит из доказательства от противного. В общих словах данный метод заключается в том, чтобы принять за гипотезу тезис, противоречащий теореме, которую мы хотим доказать, и искать свойство, справедливое для заданного числа п. Затем доказывается, что если данное свойство справедливо для числа n, оно также справедливо для числа меньше n, как правило n - 1.