Ферма. Великая теорема Ферма - Страница 17

К оглавлению

17

Из теоремы самой по себе нельзя было вывести никаких революционных результатов, но попытки ее доказательства дали огромное количество новых и плодотворных путей исследования. Возможно, если бы Эйлер не заинтересовался этой теоремой, теория чисел была бы разработана намного позже; теория идеалов была изначально задумана Куммером как инструмент доказательства теоремы, хотя сегодня она применяется во многих других областях. Фальтингс и Мияока исследовали связи между дифференциальной геометрией и теорией чисел благодаря Последней теореме Ферма. И наконец, Уайлс, возможно, не занялся бы доказательством гипотезы Таниямы — Симуры с таким пылом, если бы не знал о связи между этой гипотезой и любимой задачей его детства.

Всем этим мы обязаны скромному утверждению, или, даже можно сказать, всего лишь любопытному замечанию — теореме, которую однажды Ферма написал на полях "Арифметики" Диофанта.


ГЛАВА 3
Современная теория чисел

Несмотря на важность Великой теоремы Ферма для последующего развития математики, если бы она стала его единственным вкладом в науку, фигура тулузского юриста не обладала бы такой значимостью. Но Ферма был первоклассным математиком, для многих историков — мыслителем, равным Архимеду, Эйлеру или Гауссу. Он внес важный вклад в одну из своих любимых областей — современную теорию чисел, которую сам же и создал.

Собственные делители числа, или его аликвоты (включая число 1, которое всегда является делителем любого числа),— это делители, отличающиеся от самого числа, на которые оно делится без остатка. А совершенное число — это число, равное сумме всех своих собственных делителей.

Приведем пример. Собственными делителями числа 6 являются 1,2 и 3, а 1+2 + 3 = 6. Следовательно, 6 — это совершенное число, первое, но не единственное из этих чисел. Пифагорейцы придавали большое значение мистике совершенных чисел. В частности, 6 сочетало в себе три первых числа, которые имели важное мистическое значение (единство, двойственность и троица как смесь единства и двойственности); 6 — объединение всех этих значений.

Греки обнаружили только четыре первых совершенных числа: 6, 28, 496 и 8128. Пятое было открыто лишь в XV веке: 33 550 336. Найти совершенное число нелегко. В марте 2012 года было известно только 47 из них, самое большое из которых содержит 25956377 знаков.

Евклид известен как великий геометр, но, однако, меньше всего обращают внимание на то, что в его "Началах" содержится много арифметических теорем. Знаменитому греческому математику мы обязаны, например, знанием того, что количество простых чисел бесконечно. В области совершенных чисел он доказал удивительный результат (см. рисунок): пусть N = 2(2 - 1) - 2M, где под М мы подразумеваем множитель 2 - 1 (М — одно из так называемых чисел Мерсенна, как мы увидим далее). Тогда, говорит нам Евклид, N — совершенное число, если М — простое.

Как можно легко заметить, все эти числа N четные. Мы пока не знаем, существуют ли нечетные совершенные числа. Это одна из больших открытых проблем в теории чисел. Однако известно, что если они существуют, то они должны соответствовать ряду очень сложных условий. Многие математики думают, что было бы чудом, если бы они существовали. Мы также не знаем, бесконечно ли количество чисел вида Ν, поскольку неизвестно, бесконечно ли количество простых чисел вида M, то есть простых чисел Мерсенна. Через несколько лет после смерти Ферма Эйлер доказал, что теорема, обратная теореме Евклида, верна: любое совершенное число можно записать в виде Ν.

Очевидно, что существуют несовершенные числа. Они делятся на два типа: избыточные (сумма их собственных делителей меньше самого числа) и недостаточные (меньше этой суммы).

Графическое представление совершенного числа.


ДОКАЗАТЕЛЬСТВО БЕСКОНЕЧНОСТИ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ

Данное доказательство принадлежит Евклиду, и оно осуществляется уже известным нам методом от противного. Предположим, что вывод ложен и количество простых чисел конечно. Это означает, что существует самое большое простое число. Назовем его p. Теперь составим число N из произведения всех простых чисел плюс один: N = pp... pp + 1 = A + 1. Такое число не делится ни на одно простое число от p до p, поскольку тогда на них должно было бы делиться как A, так и 1, и ясно, что ни одно число не является делителем 1, кроме него самого. То есть либо N — простое число, либо оно содержит простые множители, большие p. Следовательно, мы нашли простое число, большее p, что противоречит нашей гипотезе о том, что p — самое большое простое число. Получается, гипотеза ложна и количество простых чисел бесконечно.

Наконец, есть другие числа, тесно связанные с совершенными: так называемые дружественные числа. Два числа называются дружественными, когда сумма собственных делителей одного равна другому, и наоборот. В античности единственной известной парой дружественных чисел были 220 и 284. Действительно, собственные делители 220 — это 1,2,4,5,10,11,20, 22,44,55,110,а 284- 1 + 2 + 4+ 5+ 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110. Аналогично, собственные делители 284 — это 1, 2, 4, 71, 142, а 220 - 1 + 2 + 4 + 71 + 142.

У этой пары дружественных чисел также было магико-мистическое значение. В Средние века верили, что если два человека съедят два куска хлеба, на каждом из которых написано одно из этих чисел, то они будут друзьями навсегда, даже если раньше не были знакомы.

Возрождение пифагорейского мистицизма в начале Нового времени поддерживало интерес к этим проблемам.

17