Ферма. Великая теорема Ферма - Страница 25

К оглавлению

25

ГЛАВА 4
Аналитическая геометрия

Научная деятельность Ферма не ограничивалась теорией чисел. В XVII веке начинали развиваться аналитическая геометрия и математический анализ, и ученый стал одним из их основоположников. И теперь, в отличие от истории с теорией чисел, французский математик действовал как часть научного сообщества, что способствовало полному признанию его открытий еще при жизни.

И вновь для того чтобы понять вклад Ферма в науку, обратим свой взгляд назад, к самому рождению алгебры. После огромной эллинской славы в течение Средних веков западная математика пережила период угасания: в Европе сложно найти оригинальную работу по математике до Фибоначчи, который жил на рубеже XII и XIII веков. В мусульманском мире, наоборот, греческое наследие было изучено и развито дальше. Мусульмане, среди многих других греческих авторов, перевели Аристотеля, Евклида, Птолемея, Аполлония и Диофанта. Кроме того, они также сделали две важнейшие вещи: развили алгебру и ввели в обиход арабские цифры, распространив их вместе с использованием десятичных дробей.

Невозможно представить себе развитие западной математики без языка арабских чисел. Греки не умели выражать иррациональные числа, а неспособность выразить что-то является препятствием для развития научной мысли. Только представляя себе некий объект, человек способен рассуждать о нем. По этой причине введение арабских чисел стало одной из великих научных революций. Мы получили, в первую очередь, понятие "ноль". Наконец-то стало ясно, что "ничто" можно выразить. Также появилась форма записи десятичных дробей, приближенная к записи иррациональных чисел. Кроме того, арабская система дала нам возможность осуществлять алгоритмически (то есть на основе правил) самые основные операции: сложение, вычитание, умножение, деление. Вместо того чтобы работать со счетами, которые необходимы при использовании римских цифр, впервые стало возможным осуществлять операции в уме в соответствии с простыми правилами, которые может выучить любой школьник.

Другим большим новшеством исламской культуры была систематизация алгебры. Выдающийся исламский математик Мухаммед ибн Муса аль-Хорезми (780-850) написал трактат по алгебре, в котором классифицировал различные типы уравнений и высказал мысль, что две части уравнения подобны чашам уравновешенных весов: то, что вычитается или прибавляется в одной части, должно быть вычтено или прибавлено в другой.

Благодаря проникновению арабской культуры в Европу стало возможным появление и развитие одной из школ математики XVI и XVII веков — ренетов, которые просто занимались вычислениями, основываясь на арабской традиции и собственных первых открытиях. Они были прежде всего прагматиками, не желавшими тратить время на строгость греческого доказательства. В этой смеси традиций и развивалась деятельность Ферма. С одной стороны, реистский прагматичный подход к решению задач, с другой — геометры и их страсть к систематизированным и выверенным результатам. Но самое большое влияние на героя этой книги оказал математик Франсуа Виет; его работы являются связующим звеном, объединяющим разные направления научной деятельности Ферма. В первую очередь речь идет о созданной Виетом символической алгебре и его методах работы с уравнениями.

Уже Диофант в эллинскую эпоху иногда пользовался символами для обозначения числовых величин, но именно Виет создал новый язык, который, как и индо-арабская запись, позволял выражать до тех пор невыразимые вещи. Виет был первым, кто систематично использовал буквы, чтобы обозначать константы и неизвестные.

Символическая алгебра позволяет представить неизвестное нам число: оно уже не "вещь", а х. Действительно, как в случае с Великой теоремой можно выразить числа, "которых, возможно, даже не существует", — х, у и z из уравнения Ферма. Символическая алгебра позволяет рассуждать о целых классах задач и делать утверждения о бесконечном количестве похожих проблем, зная только их алгебраическую структуру, связь между переменными посредством уравнения. То есть можно говорить об уравнениях в общем виде. Например, можно быстро и просто сказать, что a - b = (a + b) (a - b) и что это выполняется при любых a и b. Символическая алгебра освобождает наш ум от тяжелых словесных описаний и позволяет рассуждать на другом уровне, точно так же, как арабские цифры помогают нам считать. Революция в данной области стала возможной благодаря Виету, а затем и Декарту.

Теперь необходимо остановиться на некоторых понятиях. Древнегреческие математики стремились к строгим безукоризненным доказательствам: они назывались "синтетическими" и шли от гипотезы теоремы до ее заключения, с использованием логических правил, шаг за шагом. Но редко ученый следует по такому прямому пути, когда делает свои открытия. Математик пользуется (и греки не были исключением) эвристическими, неформальными методами для проверки своей правоты, прежде чем попытаться составить доказательство. В Древней Греции пробные пути, по которым пытались исследовать доказательство, можно сравнить со строительными лесами, убранными из окончательной редакции доказательства. Они назывались анализом (следует заметить, что это слово имеет абсолютно другое значение в современной математике), в то время как доказательство было синтезом. Анализ ведется от заключения к гипотезе, в то время как обычное, строгое и синтетическое доказательство всегда следует в противоположном направлении. К разочарованию своих читателей XVI и XVII веков, греки не оставили следов используемого ими аналитического метода, полностью стирая их и демонстрируя только строгость и красоту синтетического доказательства. Папп, несколько веков спустя писавший о вершинах эллинской математики, был одним из немногих авторов, который оставил какие-то свидетельства анализа.

25