Ферма. Великая теорема Ферма - Страница 35

КВАДРАТУРА

В ходе исследований о касательных, максимумах и минимумах Ферма постепенно ушел от своего приравнивания к намного более современному понятию квази-равенства, настолько произвольно близкого к точке, что разница практически равна нулю. Но именно в своем методе квадратур он сделал последний шаг к анализу бесконечно малых, к произвольно малым величинам. К тому времени Ферма уже оставил позади свои методы касательных, максимумов и минимумов и никогда не пересматривал их в свете своих новых идей.

Проблема квадратур существовала уже в античности, ими занимались даже Евдокс и Архимед. В целом она состоит в том, чтобы найти площадь, ограниченную некоей кривой и прямой (обычно осью), или, когда кривая полностью окружает точку, как в случае со спиралями, — площадь, ограниченную кривой. Как это делали древние, данная площадь выражается построением прямоугольника, площадь которого равна искомой площади, то есть нахождением произведения двух рациональных чисел а и b, образующих стороны прямоугольника. Действительно, во многих случаях они получали несколько прямоугольников, площади которых в сумме давали искомую площадь.

Вскоре греки столкнулись с очень сложной задачей. Речь шла о нахождении квадратуры самой элементарной фигуры — круга. И сколько бы усилий ни прилагали греки, им не удалось построить прямоугольник с рациональными сторонами, который имел бы такую же площадь. Причина их неудачи была найдена только в XIX веке: число π, с помощью которого обязательно выражается площадь круга, не может быть выражено не только в рациональном виде, но даже в качестве результата алгебраического уравнения. Сегодня такие числа называются трансцендентными, и они относятся к иррациональным числам.

Сложность квадрирования некоторых кривых не ускользнула от Ферма, но, как мы уже сказали, его аналитическая геометрия порождала бесконечное число кривых. В частности, кривые конических сечений степени больше квадрата внезапно стали отлично доступными в виде уравнений. Итак, вместо того чтобы увлекаться неквадратными кривыми, такими как круг, Ферма применил свой метод к кривым высшей степени. Убежденность ученого в том, что эти кривые идеально определяются его уравнением, постепенно привела Ферма к тому, чтобы не беспокоиться об их геометрическом представлении. В письмах и трактатах он каждый раз все более демонстративно забывал о графике кривой и сосредотачивался на алгебраических действиях. Как всегда, Ферма начал свою работу на основе трудов греческого ученого. В этот раз это был не Аполлоний и не Диофант, а Архимед. Окончательные работы Ферма на эту тему были опубликованы его сыном Клеманом-Самюэлем после его смерти, и хотя они не были поняты людьми уровня Гюйгенса, автора уже не было в живых, чтобы, как это было в случае с Декартом, прояснить то, что он хотел сказать.

Иллюстрация метода исчерпывания, при котором площадь под кривой находится между большей и меньшей площадями.

Возвращаясь к раннему времени его переписки с Мерсенном и Робервалем, в 1636 году, мы видим, что Ферма был занят трактатом Архимеда о спиралях, в котором тот нашел квадратуру спирали, носящей его имя. Ферма распространил этот метод на другие спирали, например на ту, которую он нашел при решении задачи Галилея, упомянутой нами ранее. Ферма бросил вызов Робервалю, предлагая ему найти квадратуру кубической параболы, графика кубической функции: у - kx, которую он рассматривал впервые и которая была очень похожа на параболу. Роберваль ответил сразу же. У него уже был метод, подобный методу Ферма, основанный на теореме о сумме степеней целых чисел, найденной тулузцем в ходе исследований по теории чисел, и старом "методе исчерпывания", изобретенном Евдоксом и примененном Архимедом. Он состоит в том, чтобы определить искомую площадь между двумя суммами (см. рисунок). Одна из этих сумм — сумма прямоугольников, подобных DEFG (описанных), большая, чем реальная площадь под кривой, другая — сумма площадей прямоугольников, подобных HIFG (вписанных), меньшая, чем искомая площадь. Очевидно, что реальная площадь находится между этими двумя суммами. Метод исчерпывания состоял в том, чтобы предложить площадь и обосновать методом двойного доказательства от противного, что она является единственной площадью, величина которой находится между этими двумя суммами; это может быть только реальная площадь.

Метод Ферма и Роберваля не работал для некоторых кривых, как они оба быстро убедились. Казалось, Ферма перестал интересоваться данной темой. Но в 1658 году он практически сразу же ответил на недавнюю работу Уоллиса о квадратурах, распространив собственный трактат, который он явно вынашивал в течение многих лет.

В "Трактате о квадратурах" Ферма показывал, как далеко он зашел. Теперь его метод был применим ко всем гиперболам степени больше двух, которые не поддались ему за 20 лет до этого. Он произвел радикальные изменения. Там, где Архимед (и что присутствовало в ранних методах самого Ферма и Роберваля) искал конечные суммы, Ферма теперь допускал возможность бесконечной суммы прямоугольников на оси абсцисс. Это был единственный способ проанализировать площадь под гиперболой, поскольку альтернатива заключалась не в бесконечном числе прямоугольников, а в конечном числе прямоугольников с бесконечной площадью. Прямоугольник с бесконечной площадью при сложении с другими прямоугольниками дает бесконечную площадь. Наоборот, бесконечное число прямоугольников может в некоторых условиях дать конечную площадь. Но, кроме того, метод Ферма отличался от метода исчерпывания тем существенным обстоятельством, что уже больше не было необходимости определять площадь между двумя суммами. Математик приравнивал верхнюю сторону каждого прямоугольника к очень маленькому отрезку гиперболы. Чем меньше был отрезок, тем точнее было это равенство и, следовательно, площадь под отрезком кривой была ближе к площади соответствующего прямоугольника. Разница тончайшая, но основополагающая.