Ферма. Великая теорема Ферма - Страница 4

Несложно представить себе, как математик получил этот результат. Он некоторое время анализировал пифагоровы тройки и их свойства. Речь идет о записи квадрата в виде суммы двух квадратов так, чтобы все используемые числа были натуральными. Разумно предположить: поставив перед собой эту проблему, Ферма также задался вопросом, что произойдет, если вместо квадратов использовать кубы, четвертые степени и так далее. В конце концов, одной из самых естественных тенденций для математика является поиск обобщенного результата или, по крайней мере, исследование возможных обобщений.

Понять поставленную задачу довольно просто, и хотя уже половина ее решения заключается в этом понимании, вторая половина, в случае теоремы Ферма, сформулированной в 1637 году, чрезвычайно сложна. Почему? Чтобы попытаться ответить на данный вопрос, нужно совершить "небольшое" путешествие в прошлое, примерно за 2100 лет до Ферма, во времена Пифагора, — не только из-за связей, которые имеются у Великой теоремы с пифагоровыми тройками.

ГРЕКИ

Вернемся к началу времени математики для понимания природы математического доказательства. Пифагор Самосский (ок. 580 — ок. 495 до н.э.) — полулегендарный персонаж. Почти все документы, касающиеся этого ученого, которые дошли до нас, были созданы через несколько веков после его смерти, и поскольку последователи разве что не обожествляли Пифагора, значительная часть сведений о нем — это коллекция мифов. Так же как легенда по имени Гомер положила начало западной литературе, легенда по имени Пифагор основала математику.

Одно известно точно: Пифагор не формулировал теорему, которая носит его имя. Египтяне и вавилоняне знали и применяли ее, но они пользовались ею как инструкцией. Они неоднократно проверили ее на практике и убедились в ее истинности. Говоря современным языком, египтяне и вавилоняне использовали математику эмпирически: если они систематически убеждались, что результат верен, они обобщали его и думали, что он верен всегда. Это известно как индуктивное рассуждение. Когда мы находим действующую инструкцию, мы применяем ее, даже если и не понимаем, почему она работает.

Однако то, что сделал Пифагор, было действительно революционно: он пришел к убеждению, что эмпирических инструкций недостаточно и что требуется строгое доказательство их правоты. Фалес Милетский (ок. 630-545 до н. э.), отец философии, уже занимался выведениями доказательств, но Пифагор превратил поиск математического доказательства в систематическую программу. Он сделал нечто удивительное: пришел к выводу, что инструкция может быть доказана для всех случаев дедуктивно, с помощью правил логики, чтобы стать вечной, безупречной истиной, которую невозможно оспорить. Эмпиризму он противопоставил разум. Так, доказательство, основанное на логических правилах и образованное рядом шагов, которые любой может рассмотреть и понять, лучше, чем миллион экспериментов.

Насколько известно, Пифагор был первым, кто подумал о том, что такие доказательства не только возможны, но и достижимы систематически.

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА

Возьмем два квадрата одинаковой площади со стороной а + b и разделим их, как показано на рисунке. Очевидно, что площадь каждого из квадратов равна (а + b), но ее можно выразить и другим способом. В квадрате слева общая площадь равна сумме площадей двух квадратов со сторонами b и а и площадей четырех треугольников со сторонами а и b, то есть

1/2 · ab

для каждого из них. Следовательно, общая площадь первого квадрата равна

A = a + b + 4(1/2 · ab)

Площадь второго квадрата равна сумме площади вписанного квадрата со стороной с и площадей четырех треугольников со сторонами а и b:

A = c + 4(1/2 · ab).

Так как А и А равны, то

a + b + 4(1/2 · ab) = c + 4(1/2 · ab).

И, после сокращения уравнения:

а+b=с.

Это типичный пример геометрического доказательства, поскольку для него необходимо построить различные геометрические фигуры внутри квадратов.

Поэтому он заслуживает титула отца математики. Все амбиции математической науки, одной из самых плодотворных в интеллектуальной истории человечества, выразил немецкий математик Давид Гильберт (1862-1943) в своем "Wir mussen wissen. Wir werden wissen" ("Мы должны знать. Мы будем знать!") во втором десятилетии XX века.

Пифагор или кто-то из его школы доказал теорему, носящую его имя, так что уже невозможно сомневаться в ее истинности. Данная теорема дает нам неизменное правило. В случае с прямоугольным треугольником это отношение всегда будет выполняться. Пифагор очень высоко поднял планку для последующих поколений: уже недостаточно было найти правило, проверить его на практике много раз и признать его истинным. Теперь в математике требовалось его доказывать. И хотя в некоторых случаях это чрезвычайно сложно, подход Пифагора оказался таким плодотворным, что математики, несмотря на все трудности, не готовы отказываться от него.

В течение нескольких веков греки следовали принципам Пифагора и стремились к строгому доказательству своих результатов. Но геометр, который жил при Птолемее I (367-283 до н. э.), военачальнике Александра Великого и царе Египта, пошел еще дальше. Речь идет о Евклиде (ок. 325-265 до н. э.), который не довольствовался тем, чтобы доказывать отдельные результаты, а амбициозно захотел собрать все математическое знание своего времени в одну систему.